terça-feira, 31 de maio de 2011

Dicas...

Multiplicar por 11
Todos sabem que quando queremos multiplicar qualquer número pode 10 apenas devemos colocar um zero ao final. Você sabia que há um truque igualmente fácil para multiplicar por  11?
Pegue qualquer número de dois dígitos e imagine um espaço em branco entre eles. Neste exemplo iremos usar 72:
7_2
Agora coloque o resultado da soma dos mesmos dois números no espaço em branco:
7_(7+2)_2
Simples assim, você chega à sua resposta: 792
Caso a soma central gere um número com dois dígitos você terá que pegar o primeiro dígito desta soma e somar com o primeiro dígito do número original. Vamos utilizar o número 93:
9_3
9_(9+3)_3
9_(12)_3
(9+1)_2_3
1023 – Nunca falha!
Elevar rapidamente ao quadrado
Se você precisa do quadrado de qualquer número com dois dígitos que termine em 5 você pode utilizar esse truque simples. Multiplique o primeiro dígito por si mesmo +1 e coloque 25 no final. Só isso.
352 = (3x(3+1) & 25
1225
 

Multiplicando por 5
 Memorizar a tabuada do 5 é muito simples, mas quando precisamos operar dígitos maiores isso fica bem mais complexo, ou não? Esse truque é muito simples.

Pegue qualquer número e divida por 2 (em outras palavras, a metade) Se o resultado for um inteiro coloque 0 ao final. Do contrário simplesmente apague a vírgula (colocando o 5 ao final). Também nunca falha. Vamos começar com 3.024:
3024 x 5 = (3024/2) & 0 ou 5
3024/2 = 1512 & 0
15120
Vamos tentar mais um (55):
63 x 5 = (63/2) & 0 ou 5
31,5 (ignore a vírgula deixando apenas o 5 que já está ao final)
315
 Multiplicar por 9 
Este é extremamente simples. Para multiplicar qualquer número entre 1 e 9 por 9 você deve estender as duas mãos na sua frente. Então abaixe um dedo apenas, exatamente o dedo correspondente ao número que você quer multiplicar.
Por exemplo, se você quer multiplicar 9 por 4, abaixe o 4º dedo. Conte os dedos antes do dedo abaixado (neste caso 3) depois conte os que estão após do dedo abaixado (neste caso 6).
Resposta = 36



Multiplicação difícil 
Se você tem números grandes para multiplicar e um dels é par, simplesmente divida por 2 o lado par e multiplique por 2 o lado ímpar (ou o lado maior).
64 x 125, é o mesmo que:
32 x 250, que é o mesmo que:
16 x 500, que é o mesmo que:
8 x 1000 = 8000

 Dividindo por 5 
Dividir um número grande por 5 é, em realidade, muito simples. Tudo que você deve fazer é multiplicar por 2 e então mover a casa decimal. Vamos exemplificar com o número 3250.
3250 / 5 = 3250 x 2 & mover a casa decimal um dígito para a esquerda
6500 = 650,0
650
Ou então:
41 / 5 = 41 x 2 & mover a casa decimal um dígito para a esquerda
82 = 8,2

Subtrair qualquer número de 1000 
Para subtratir qualquer número de 1000 use essa regra básica. Subtraia individualmente cada dígito de 9, com exceção do último que você subtrairá de 10.
1000 – 723
Passo 1: Subtrara 7 de 9 = 2
Passo 2: Subtraia 2 de 9 = 7
Passo 3: Subtraia 3 de 10 = 7
Resposta: 277, infalível.
Diversas regras de multiplicação 
1.Multiplicar por 5: Multiplicar por 10 e dividir por 2.
2.Multiplicar por 6: Algumas vezes multiplicar por 3 e então 2 é fácil.
3.Multiplicar por 9: Multiplicar por 10 e subtrair o número original.
4.Multiplicar por 12: Multiplicar por 10 e somar o dobro do número original.
5.Multiplicar por 13: Multiplicar por 3 e somar 10 vezes o número original.
6.Multiplicar por 14: Multiplicar por 7 e então multiplicar por 2
7.Multiplicar por 15: Multiplicar por 10 e somar 5 vezes o número original.
8.Multiplicar por 16: Pode-se multiplicar quatro vezes por 2. Ou multiplicar por 8 e depois por 2.
9.Multiplicar por 17: Multiplicar por 7 e somar 10 vezes número original.
10.Multiplicar por 18: Multiplicar por 20 e subtrair o dobro do número original.
11.Multiplicar por 19: Multiplicar por 20 e subtrair o número original.
12.Multiplicar por 24: Multiplicar por 8 e então multiplicar por 3.
13.Multiplicar por 27: Multiplicar por 30 e subtrair 3 vezes o número original.
14.Multiplicar por 45: Multiplicar por 50 e subtrair 5 vezes o número original.
15.Multiplicar por 90: Multiplicar por 9 e colocar zero à direita.
16.Multiplicar por 98: Multiplicar por 100 e subtrair duas vezes o número original.
17.Multiplicar por 99: Multiplicar por 100 e subtrair o número original.
 Multiplicar por 4 
Este é tão simples que parece óbvio. Mas para muitos não é. Ele consiste em multiplicar por 2 e multiplicar por 2 novamente.
66 x 4 = (66 x 2) x 2
1
 
 Calcular 15% 
Se você precisa calcular 15% de qualquer número é simples. Apenas divida o número por 10 e então some mais a metade deste resultado. A equação é bem mais complicada que o truque em si. Vamos exemplificar com o número 300:
15% de 300 = (10% de 300) + ((10% de 300)/2)
30 + 15 = 45

terça-feira, 24 de maio de 2011

Ábaco chinês

O ábaco chinês é composto por três ripas de madeira dispostas em paralelo, unidas por cilindros de metal ou madeira, espaçados e paralelos, por onde deslizam esferas, chamadas de contas.
Ábaco, na verdade, é qualquer instrumento de manipulação que ajude a fazer cálculos (cartazes de pregas, contador, cartaz de valor-lugar, soroban, etc.).

Se nos remetermos à pré-história, no período neolítico, quando o homem passou pelo processo de sedentarização, surgiu a idéia de criar animais para o consumo. Uma das primeiras dificuldades foi saber quantos animais uma família ou aldeia possuía.

A solução era relacionar de forma biunívoca animais e pedrinhas, isto é, para duas cabras, colecionavam-se duas pedrinhas.
Com um tempo, o homem começou a contar outros objetos, cujas quantidades tornavam-se inviáveis de representar biunivocamente com pedrinhas. Assim, agrupar quantidades iguais e representá-las com outros objetos foi a saída.

Por exemplo, os egípcios costumavam formar grupos de cinco pedrinhas e substituir estas cinco por um graveto. Dessa forma, 2 gravetos e 3 pedrinhas correspondiam ao 13.

Povos diferentes, formavam esses grupos de maneiras diferentes – o que chamamos na matemática de bases numéricas.

Na idade antiga, a escrita facilitou muito o processo de representação de quantidades. O ser humano pela primeira vez utilizou símbolos gráficos para representar números.

Porém, antes de chegarmos nesse grau de evolução (da escrita), vamos estudar sobre um instrumento desenvolvido na China antiga – o ábaco.

O ábaco chinês é composto por três ripas de madeira dispostas em paralelo, unidas por cilindros de metal ou madeira, espaçados e paralelos, por onde deslizam esferas, chamadas de contas.

Digamos que, no ábaco ocidental queiramos fazer 10 + 12. Inicialmente colocamos dez unidades na coluna das unidades. Mas, lembrando nossos antepassados, é mais inteligente utilizar a posição das dezenas, já que 10 = 1 x 10, isto é, uma dezena.
Agora, vamos colocar 12 unidades na coluna das unidades.

Em uma versão simplificada – a que usamos no ocidente, o ábaco é composto por uma base de madeira, colunas (cilindros) de metal ou madeira perpendiculares à base e esferas ou roscas para as contas.

O valor posicional, assim como no ábaco chinês, é dado da direita para esquerda. Se utilizarmos a base decimal, a primeira coluna é a das unidades; a segunda, das dezenas; a terceira, das centenas e assim sucessivamente.

Digamos que, no ábaco ocidental queiramos fazer 10 + 12. Inicialmente colocamos dez unidades na coluna das unidades. Mas, lembrando nossos antepassados, é mais inteligente utilizar a posição das dezenas, já que 10 = 1 x 10, isto é, uma dezena.

Agora, vamos colocar 12 unidades na coluna das unidades.

Essas 12 unidades podem ser escritas e representadas como 1 x 10 + 2, isto é, uma dezena mais duas unidades. Assim, retiramos dez unidades, que “passam” para a coluna das dezenas como uma dezena. Esse é o famoso “vai um” do algoritmo da adição. Na realidade não “vai um”, o que vai é uma dezena a ser somada às dezenas.

Dessa forma ficamos com a disposição final:

Que corresponde a expressão numérica 2 x 10 + 2 que é igual a 22. Veja 22 que são duas dezenas mais duas unidades (20 + 2 = 22). Tal raciocínio é a base para o algoritmo da operação da soma com números naturais na base decimal.
É bom lembrarmos que 10 unidades são 1 dezena:


Que 10 dezenas são 1 centena:




Que 10 centenas são 1 milhar:



assim por diante.
Uma vez compreendida essa ação de substituir, na base decimal, dez vezes a unidade anterior em uma unidade posterior (exemplo 10 centenas em 1 milhar), e assimilado esse conceito, estaremos aptos a afirmar que sabemos somar números naturais na base dez.

Algo que pode facilitar a leitura do número expresso no ábaco (se estivermos trabalhando com base decimal) é termos estampados, na base, os nomes das posições (unidades, dezenas, centenas, etc).

Charge do dia...

segunda-feira, 23 de maio de 2011

Charge do dia...

MALBA TAHAN

0 GENIAL ATOR DA SALA DE AULA ...Júlio César de Melo e Sousa (Rio de Janeiro, 6 de maio de 1895 — Recife, 18 de junho de 1974), mais conhecido pelo heterônimo de Malba Tahan foi um escritor e matemático brasileiro. Através de seus romances foi um dos maiores divulgadores da matemática no Brasil. Ele é famoso no Brasil e no exterior por seus livros de recreação matemática e fábulas e lendas passadas no Oriente, muitas delas publicadas sob o heterônimo/pseudônimo de Malba Tahan. ...Seu livro mais conhecido, O Homem que Calculava, é uma coleção de problemas e curiosidades matemáticas apresentada sob a forma de narrativa das aventuras de um calculista persa à maneira dos contos de Mil e Uma Noites. Monteiro Lobato classificou-a como: “... obra que ficará a salvo das vassouradas do Tempo como a melhor expressão do binômio ‘ciência-imaginação.’” ...Júlio César, como professor de matemática, destacou-se por ser um acerbo crítico das estruturas ultrapassadas de ensino. “O professor de Matemática em geral é um sádico. — Denunciava ele. — Ele sente prazer em complicar tudo.” Com concepções muito a frente de seu tempo, somente nos dias de hoje Júlio César começa a ter o reconhecimento de sua importância como educador. Em 2004 foi fundado em Queluz -- terra onde o escritor passou sua infância -- o Instituto Malba Tahan, com o objetivo de fomentar, resgatar e preservar a memória e o legado de Júlio César. ...Em homenagem a Malba Tahan, o dia de seu nascimento – 6 de maio – foi decretado Dia da Matemática pela Assembléia Legislativa do Rio de Janeiro.

terça-feira, 17 de maio de 2011

Charge do dia...

O Caso do Zero

O professor chega à sala de aula e pergunta:

- Se 2² é quatro e 2¹ é dois. Quanto é 2°?

Então deu para perceber que a sala entrou em colapso, alguns alunos diziam dois outros diziam zero, mas não entrevasse em um consenso e formou-se então dois partidos - o do zero e o do dois. Para acabar com a discussão, o professor deu a sentença:

- É UM. Dois elevado a zero é um.

No inicio os alunos nem ouviram direito a explicação: que coisa mais sem sentido, que loucura era essa?

Ao poucos foram se acalmando, e o professor pôde justificar o resultado. Na verdade, é bem simples.

Quando escrevemos, por exemplo, 2³, o expoente indica que devemos multiplicar o numero 2 três vezes. A potencia 2°, no entanto, nos coloca numa seria dificuldade. Não podemos Multiplicar o fator 2 zero vezes.

Durante muito tempo os matemáticos afirmaram que a potencia 2° não existia. Mas uma propriedade da potencia mostrou que havia uma possibilidade de interpretar o zero:

Para dividir duas potencias que têm a mesma base, mantemos a base e subtraímos os expoentes.

2³/ 2³ = 2 ³-³ = 2º
Mas:
2³/ 2³ = 8/8 = 1

Logo:

2º = 1.

segunda-feira, 16 de maio de 2011

Charge do dia...

Inimigos e Amigos?


Muito usada no processo de tentar mostrar aos alunos como é que funciona o jogo de sinais no ensino da multiplicação e divisão dos numero inteiros, foi criado como um jogo de palavras que representam números negativos e positivos, normalmente o numero um que mais tarde pode ser substituído por qualquer outro numero: Na sala de Aula o professor chega e pergunta pra turma:

- Crianças, o Amigo do meu Amigo é o que pra mim?

- Seu Amigo, professor!

- Então o Inimigo do meu Amigo é o que pra mim?

- Seu Inimigo!

- Então o Amigo do meu Inimigo é?

- Seu Inimigo!

- E, o Inimigo do meu Inimigo?

- (...)

O silêncio imperou, alguns olharam meio estranho para ele mais não sabiam o que responder. Amigo ou Inimigo?

Até que um aluno fala:

- Já que ele é Inimigo de quem o senhor não gosta então ele é seu Amigo professor.

- Muito bem, então ele é meu Amigo! – ele continua – Isso gente é que acontece no jogo de sinais da multiplicação se trocar a palavra “Amigo” pelo numero +1 e “Inimigo” pelo -1, por exemplo, e multiplicar a relação que fizemos temos: o Amigo do meu Amigo é meu Amigo

+1 vezes +1 = +1

o Inimigo do meu Amigo é meu Inimigo

-1 vezes +1 = -1

o Amigo do meu Inimigo é meu Inimigo

+1 vezes -1 = -1

o Inimigo do meu Inimigo é meu Amigo

-1 vezes -1 = +1



sexta-feira, 13 de maio de 2011

Números Indo Arábicos

A Tabuada de Pitágoras

Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo (veja há quanto tempo!), inventou a tabela abaixo, na qual é possível efetuar todas as operações de multiplicação existentes na velha tabuada. E tudo em um único lugar.
Para se calcular, por meio desta tabela, o produto de dois números, 5 x 9 por exemplo, basta localizar o multiplicando (5) na primeira linha e o multiplicador (9) na primeira coluna. O resultado do produto está no encontro da linha com a coluna.

Observe que alguns conceitos adicionais podem ser explorados a partir daqui:

•O de uma composição tabular (matriz) – não estou dizendo que uma criança vá entendê-lo em toda a sua plenitude;

•Mostrar que em uma multiplicação a ordem dos fatores não altera o resultado, fazendo a operação 9 x 5 diretamente na tabela;

•Obter resultados de divisões exatas, claro dentro deste universo. Por exemplo: 36:9.

A tabuada de Pitágoras, é óbvio, deve ser utilizada dentro dos mesmos princípios didáticos e curriculares da tabuada tradicional, ou seja, após as devidas explicações do que seja uma multiplicação e uma divisão. No entanto, acredito que o uso da tabuada de Pitagóras tornaria, pelo menos, o aprendizado mais divertido.

A composição da tabela é bem simples: na coluna um encontram-se “os resultados da tabuada do 1″, na dois “os resultados da tabuada do 2″, e assim por diante ...

Lenda do Jogo de Xadrez

O semblante do rei da índia mostrava espanto e admiração com os olhos fixos no tabuleiro, ele procurava compreender os movimentos das peças: reis rainhas, bispos cavalos, torres, peões. Que engenhosa invenção!

Ficou ainda mais satisfeito quando lhe contaram que o criador do jogo era um súdito de seu reino: Sessa, professor de Matemática e Ciência. Que o trouxessem imediatamente a sua presença!

Sessa era um verdadeiro sábio, calmo e digno, que enfrentara o soberano com os olhos fracos e ar sereno.

Com nenhum de seus súditos o rei havia sido tão benevolente. Fez perguntas sobre o jogo, falou do apreço que tinha pela ciência, do respeito que dedicava aos que cultivavam o saber. No final da conversa, fez o generoso oferecimento:

_ Sessa, quero recompensá-lo por sua invenção. Peça o que desejar, nada lhe será negado.

O soberano admirava as pessoas prudentes e agradou-lhe ver que sessa não queria desperdiçar a grande oportunidade de sua vida.

No dia seguinte, o sábio dirigiu-se ao rei e solenemente fez seu pedido:

_ Quero um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois pela segunda, quatro pela terceira, oito pela quarta e assim sucessivamente, até a última casa do tabuleiro.

O rei permaneceu calado algum tempo.Que decepção! Oferecera tanto e obtivera como resposta um pedido tão pequeno. Como podia aquele súdito ser assim mesquinho, desdenhar de tal forma sua generosidade?

Com um simples gesto de Mao despediu-se de Sessa, dizendo-lhe que os matemáticos do reino calculariam o total de grãos e ele receberia imediatamente a recompensa.

Um rápido brilho passou pelos olhos de Sessa, mas o rei não soube interpretá-lo.

Algumas horas depois, perguntou a seu ministro se o trigo havia sido entregue a Sessa. Um pouco constrangido, o funcionário respondeu que não, que os matemáticos ainda estavam fazendo as contas.

O rei franziu a testa com desagrado. Não admitia que suas ordens demorassem tanto a serem cumpridas. Que os cálculos fossem acelerados!

Na manha seguinte, os matemáticos foram falar com o rei, logo percebeu que havia alguma coisa errada. Mas nunca poderia adivinhar o que lhe disse o mais brilhante matemático do reino:

_ Majestade, Sessa nunca poderá receber sua recompensa! A quantidade de grão é tão grande que nem em todo o os celeiros do mundo existe tanto trigo. Seria necessário secar os rios, lagos, mares e oceanos, fundir gelo e a neve do norte, cobrir de cearas toda a superfície da terra e entregar-lhe cada grão colhido!

Nesse momento o rei lembrou-se da expressão que vira no rosto de Sessa. Que grande astucioso!Enganara a todos, fingindo-se modesto.
Não era possível atender ao pedido de Sessa como havia sido feito, mas era preciso premiar a notável inteligência de Sessa. Que ele recebesse uma quantia tão grande de moedas que pudesse ter uma vida tranqüila e continuasse ter uma vida tranqüila e continuasse a inventar jogos como aquele.Oscar Guelli, Contando a Historia da Matematica- Historia de Potencia e Raizes, 2003

quinta-feira, 12 de maio de 2011

Irmandade Pitagórica


Pitágoras nasceu cerca de 570 anos antes de Cristo, em Samos, uma ilha do mar Egeu. Viajou por vários países, acumulando grande quantidade de conhecimento até voltar para sua terra onde pretendia fundar uma escola filosófica. No entanto, problemas com o tirano local fez com fugisse para a cidade graga de Crotona, no sul da Itália, onde finalmente fundou uma sociedade que ficou conhecida como a "irmandade Pitagórica". Os pitagóricos eram fascinados pelas propriedades dos números inteiros e descobriram inúmeras dessas propriedades.
O maior feito da escola de Pitágoras foi a descoberta do famoso "teorema de Pitágoras", que todo estudante de segundo grau conhece bem e que diz que o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é a soma dos quadrados dos catetos.
Segundo Cajori (2007) a escola de Pitágoras era mais que academia de estudo era uma irmandade onde seus membros eram proibidos de divulgar suas descobertas, nesse sentido Cajori (2007) aponta a morte no mar de um dos pitagóricos que revelou a teoria dos irracionais.
Devemos imaginar que os pitagóricos viram nos irracionais um profundo mistério, símbolo pelo qual não existem palavras? (...) A descoberta dos irracionais é tida como de Pitágoras, mas devemos lembrar que todas as descobertas importante dos pitagóricos eram, de acordo com o costume da irmandade, atribuídas a ele.(CAJORI, 2007, p.94)
Essa descoberta causou profundo desconforto na irmandade pois mostrou que existem números que não podem ser medidos por valores inteiros ou suas frações. São os números irracionais. Essa constatação abalou a crença dos pitagóricos de que toda medida poderia ser relacionada por inteiros mas resultou, nas mãos de outros matemáticos como Arquimedes, por exemplo, em enorme avanço na aritmética e na geometria.
Diz a lenda, provavelmente exagerada, que os pitagóricos ficaram tão perturbados com os números irracionais que decidiram sacrificar o membro da irmandade que descobriu a existência desses números.

quarta-feira, 11 de maio de 2011

Pato Donald no mundo da Matemágica

                Olá, este video é um dos fragmentos do filme Pato Donald no mundo da Matemágica, no youtube tem todas as partes... 



Matematicos

UM POUCO SOBRE A VIDA DE GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ:
Nascimento: 01 de julho de 1646 em Leipzig, Saxônia (atual Alemanha). Falecimento: 14 de novembro de 1716 em Hannover, Hanover (atual Alemanha). Orientador(es): Erhard Weigel e Christiaan Huygens.

Em Paris, no início no Outono de 1672, Leibniz estudou Matemática e Física com Christiaan Huygens. Huygens aconselhou Leibniz a lê as obras sobre séries de Saint-Vincent. Leibnitz fez algumas descobertas próprias nesta área.

A Royal Society of London aceitou Leibniz em em 19 de Abril 1673. Leibniz conheceu Ozanam (se destacou no
ensino da matemática para muitos alunos estrangeiros que vieram a Paris para ser educado e escreveu várias obras sobre matemática).
Exemplos de obras de Ozanam: por exemplo générale Méthode pour les cadrans marcador (1673), La Géométrie pratique du sr Boulenger (1684), Traité de la construção des equações pour la solução des problèmes indéterminez (1687), Traité des lieux géométriques (1687), Traité des lignes gênero du premier (1687), De l'usage du compas proporção de (1688)) e resolveu um de seus problemas.

Leibniz também se encontrou, novamente, com Huygens que lhe deu uma lista de leituras, incluindo trabalhos de Pascal, Fabri, Gregory, Saint-Vincent, Descartes e Sluze. Leibniz começou a estudar a geometria dos infinitesimais e escreveu a Oldenburg (secretário da Royal Society), na Royal Society em 1674. Oldenburg respondeu que Newton e Gregory haviam chegado a métodos gerais. Leibniz não estava, contudo, no melhor dos favores com a Royal Society, já que ele não manteve sua promessa de terminar a sua máquina de calcular. Tampouco sabia Oldenburg que Leibniz tinha se transformado, de um matemático bastante simples, que visitou Londres, para um gênio matemático criativo.
Em agosto de 1675 Tschirnhaus (Ehrenfried Tschirnhaus foi um matemático alemão que trabalhou na solução de equações e no estudo das curvas. Ele é mais conhecido pela transformação que remove o termo de grau n-1 a partir de uma equação de grau n) chegou em Paris e formou uma estreita amizade com Leibniz bastante lucrativa para ambos.
Foi durante este período em Paris que Leibniz desenvolveu as noções básicas de sua versão do cálculo. Em 1673 ele ainda estava batalhando para desenvolver uma boa notação para o seus cálculo que eram confusos.
Em 21 de novembro de 1675 ele escreveu um manuscrito com a notação
Pela primeira vez, no mesmo manuscrito é dado a regra do produto para a diferenciação. No Outono de 1676 Leibniz descobriu o familiar
Foi creditado a Leibniz e a Newton o desenvolvimento da Integral e da Regra do Produto. Leia mais sobre a biografia de Leibniz em:
Leia sobre "Um exame das alegações de Leibniz e Newton com a invenção da Análise de Infinitos" em:
 http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Extras/Bossut_Chapter_V.html

Curiosidades

3,14159265358979323846.


Este é apenas o início de um número muito especial com uma infinidade de casas decimais: o número pi - a razão entre o perímetro de um círculo e o seu diâmetro.

No dia 14 de Março (data que nos EUA se escreve 3/14), celebra-se em todo o mundo o Dia do p (3,14.). Esta celebração tem como objectivo promover junto do público em geral o gosto pela matemática, aproveitando o interesse que o p tem suscitado ao longo dos tempos em todas as culturas.